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Diverses Alles rund um Grenzwissenschaften, was nirgendwo anders so recht rein passt....

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Alt 08.01.2007, 21:56   #1
camäleon
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Standard Lernen und Lehren: Gravitation:

Die Idee zu dem Tread entstand von mir, beruhend auf einem Gespräch im Chat zwischen mir, Mo und Basti am 7.1.07:

Liebe Leutz!

Der Terad richtet sich an alle, dies genau wissen wollen, auch an die, die erkannt haben, dass Kritik nur auf genau dem Wissen beruht, welches zu kritisieren einem ansteht.

Also Leute, bringt mir (oder uns)das Gravitationsgesetz A) nach Newten bei und B) in der Erweiterung nach Einstein. Aber bitte ganz vorsichtig und eins nach dem andern!

Also, was ich bereits weiss: Wenn ich bis heute einen Stein zum Fenster raus warf, landete er bis jetzt am Boden oder spezifischer noch, in meinem Garten. Also bitte keine Sonderfälle! (Erst im Kurs für Fortgeschrittene). Also an all die Wissenden: Warum war es so, musste es so sein, wird es vermutlich so bleiben, und wie kann ich das überprüfen. Bringt das mir bei!

Danke! Ich höre:
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Alt 09.01.2007, 00:01   #2
Sakslane
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Da ich selbst einige Vorträge zu diesem Thema gehalten habe (vor anderen Physikern, Studenten und Schülern eines Gymnasiums), fühle ich mich bei dieser Frage angesprochen. Los geht's - mit Newton.

Newton hatte als erster die Idee, dass die Kraft, die einen Apfel zu Boden fallen lässt, die gleiche ist wie die, die den Mond auf seiner Bahn hält - die Anziehungskraft der Erde. Um die Bewegung des Mondes zu beschreiben, formulierte er ein Kraftgesetz - die Anziehungskraft zwischen 2 Körpern der Massen m1 und m2 ist demnach gegeben durch:

F = G m1 m2 / r²

wobei G eine Konstante und r der Abstand ist. Die Kraft ist auf den jeweils anderen Körper hin gerichtet. Damit konnte er die Gravitation beschreiben, allerdings liefert diese Theorie natürlich keine Erklärung für die Ursache. Und sie enthält eine Hand voll Probleme, die jedoch erst später erkannt wurden.

Zum einen hat man festgestellt, dass die Bahn des Merkur eine Abweichung von der exakten Ellipse aufweist, die Newtons Theorie vorhersagt. Tatsächlich rotiert diese Ellipse aber mit 43 Bogensekunden pro Jahrhundert. Sehr langsam, aber gut messbar. Ein Erklärungsversuch war ein Planet innerhalb der Merkurbahn, der dessen Bewegung stört - doch den hat man nicht gefunden.

Das zweite Problem trat erst mit Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie auf. Newtons Theorie berechnet die Kraft auf einen Körper in Abhängkeit von der Position eines anderen Körpers zur selben Zeit. Das heißt aber, wenn man die Position eines Körpers verändert, ändert sich gleichzeitig die Kraft auf den anderen Körper. Das käme einer Signalübertragung mit unendlicher Geschwindigkeit gleich - und die widerspricht der speziellen Relativitätstheorie.

Einstein hat nun ein Gedankenexperiment gemacht. Angenommen, er befände sich in einem Fahrstuhl im freien Fall. Dann würde er keine Schwerkraft spüren, als befände er sich in Schwerelosigkeit. Umgekehrt würde jemand an Bord einer beschleunigenden Rakete, außerhalb der Erdschwerkraft, eine Kraft spüren, die er als Schwerkraft interpretiert. Er kann prinzipiell nicht zwischen beiden unterscheiden. Folglich müssen sie äquivalent sein.

Basierend auf diesem Äquivalenzprinzip hat Einstein nun seine allgemeine Relativitätstheorie aufgestellt, als Verallgemeinerung der speziellen Relativitätstheorie. Grundlage dieser Theorie ist die Annahme, dass der Raum und die Zeit (also zusammengefasst die Raumzeit) gekrümmt sein können. Durch diese Krümmung werden auch die Bahnen von Objekten gekrümmt, die Objekte werden also beschleunigt - es wirkt eine Kraft. Zweite Grundannahme ist, dass die Krümmung der Raumzeit wiederum durch die Materie bestimmt wird. Das Verhältnis zwischen beiden wird durch eine Gleichung (mit 10 Komponenten) beschrieben - bekannt als die Einsteinschen Feldgleichungen.

Die ART löst die beiden Probleme aus Newtons Theorie. Zum einen erklärt sie die Bewegung des Merkur dadurch, dass die Zeit nahe der Sonne langsamer vergeht als an einem weiter entfernten Punkt. Dadurch verlangsamt sich seine Bewegung dort etwas und die Ellipsenbahn rotiert. Sogar der genaue Wert dieser Rotation folgt aus der Berechnung im Rahmen der ART. Zum anderen löst sie das Problem der Signalgeschwindigkeit - in der ART wird nämlich die Information nur mit Lichtgeschwindigkeit übertragen, wie es die SRT erfordert. Die Gleichungen enthalten nicht mehr die Eigenschaften von Objekten an verschiedenen Orten zur gleichen Zeit, sondern nur noch am gleichen Ort zur gleichen Zeit.

So viel zur Theorie. Nachzulesen u.a. in Einsteins eigenem Buch, das in einer Neuauflage erschienen ist: Albert Einstein, Über die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie, Springer 2001 - sehr verständlich geschrieben und anschaulich bebildert. Wie man sich die Raumkrümmung vorstellen kann (und wie man sie sogar messen kann) beschreibe ich in den Folien zu meinem Vortrag - zu finden unter http://www.manuelhohmann.de/mhohmann...ad/Pub/ART.pdf

Kommen wir also zum experimentellen Teil. Wie weist man Newtons / Einsteins Theorie nach? Beginnen wir mit Newtons Theorie. Diese besagt u.a., dass alle Körper, unabhängig von ihrer Masse, gleich schnell Fallen. Das kann man mit einer Feder und einem Stein leicht nachprüfen - aber nur im Vakuum, wenn die Luftreibung nicht da ist! Dann fallen wirklich beide gleich schnell. Eine weitere Folge des Gravitationsgesetzes sind die Keplerschen Planetenbahnen, die ebenfalls sehr genau vermessen wurden.

Mit der ART ist es schon schwieriger, aber auch hier gibt es Tests. Neben der Erklärung der Merkurbahn bringt die ART nämlich auch einige Vorhersagen mit sich. Die wichtigsten:
  • Nicht nur Materie, auch Licht wird im Gravitationsfeld abgelenkt. Eine solche Krümmung von Lichtstrahlen wurde erstmals 1919 bei einer totalen Sonnenfinsternis beobachtet - die Sterne nahe der verdunkelten Sonnenscheibe waren an einer anderen Position zu sehen, als sie sich normalerweise befinden, weil die Sonne ihr Licht ablenkt.
  • Die Gravitation eines Objektes kann so groß werden, dass nicht einmal Licht ihm mehr entkommt. So ein Objekt ist schwarz - ein schwarzes Loch. Man konnte zwar noch keines direkt beobachten, doch man geht davon aus, dass sich im Zentrum unserer Galaxie eines befindet - das folgt aus den Bewegungen der Sterne in der Nähe des Zentrums, das eine sehr große Masse auf sehr kleinem Raum besitzt.
  • Das Gravitationsfeld eines rotierenden Körpers übt auf Objekte in seiner Nähe eine Mitnahmebewegung aus, die Raumzeit wird also regelrecht verdrillt. Diese sog. gravitomagnetische Effekt wurde mittels Satelliten nachgewiesen.
  • Der Zusammenstoß massiver Objekte (und andere Ereignisse, z.B. auch umeinander rotierende massive Objekte) werfen in der Raumzeit Wellen auf, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Ein direkter Nachweis fehlt bisher. Allerdings konnte man bereits Neutronensterne finden, die auf diese Weise ihre Bewegungsenergie abstrahlen, wodurch sich ihre Rotationsfrequenz ändert.

Dazu wird es sicherlich viele Fragen und Kommentare geben... Ich freu mich schon drauf!
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Alt 09.01.2007, 10:19   #3
Llewellian
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Es ist "Newton". Nicht Newten.

Und um die Herleitung des Newtonschen Gravitationsprinzips zu verstehen, kuckt man sich einfach mal die Entwicklung der Newtonschen Axiome (Grundbedingungen) an:

http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Axiome

http://de.wikipedia.org/wiki/Newtons...itationsgesetz

Und hier wird Punkt für Punkt in Einzelschritten erklärt, wie das Gravitationsgesetz von Newton hergeleitet wurde und wie er auf die Gravitationskonstante kam (die sich aus den Keplerschen Gesetzen prima herleiten lässt, mit denen Newton arbeitete):

http://www.fys-online.de/wissen/ph/g...skonstante.htm
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Alt 09.01.2007, 22:14   #4
camäleon
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Erst mal herzlichen Dank für die Mühe. Aber das geht mir alles doch ein bisschen zu schnell. Vielleicht wär’s hilfreich, sich vorzustellen, ihr hättet ein, sagen wir mal achtjähriges bis zwölfjähriges Kind vor Euch, das fragt: Papa, (oder auch Mama) warum fällt der Apfel vom Baum auf den Boden?

Also bleiben wir doch noch einen Moment bei Lektion eins:

Zitat von Sakslane

Zitat:
Newton hatte als erster die Idee, dass die Kraft, die einen Apfel zu Boden fallen lässt, die gleiche ist wie die, die den Mond auf seiner Bahn hält - die Anziehungskraft der Erde.
Zitat aus dem Link von Llewellian
(http://www.fys-online.de/wissen/ph/g...skonstante.htm)
Zitat:
"Auf den Gedanken, dass zwischen den Himmelskörpern eine Anziehungskraft existieren könnte, kam zuerst Isaac Newton, der Anfang des 17. Jahrhundert in England lebte. Newton mutmaßte weiter: wenn die Erde den Mond anzieht, könnte sie nicht auch andere, irdische Körper anziehen?
Man erzählt, dass der 23 jährige Newton eines Abends auf einer Gartenbank gesessen und den Vollmond angeschaut habe. Dabei löste sich vor seinen Augen ein Apfel vom Baum und fiel zu Boden. Warum fällt der Apfel herunter, dachte Newton. Und dabei kam ihm die Vermutung: Wird er vielleicht von der gleichen Kraft zur Erde gezogen, die auch den Mond auf seiner Bahn hält. Newton überlegte: Wenn man einen Apfel einfach loslässt, so fällt er geradewegs herab. Wirft man ihn dagegen waagerecht weg, so fällt er in einem Bogen. Je schneller man wirft, desto weiter fliegt der Apfel, bevor er auf die Erde auftrifft. Was geschähe nun, wenn man ihn so schnell werfen könnte, dass er die Erde beim herabfallen nicht mehr erreicht? Die Erde zöge ihn fortwährend zu sich hin, und so würde der Apfel vielleicht ständig um sie herum fallen. Er würde die Erde umkreisen wie der Mond."(5)
Heisst das mit andern Worten: Der Mond fliegt so schnell, darum fällt er nicht auf die Erde? Oder die Erde wechselt so schnell ihre Position, dass der Mond daneben fällt? Irgendwie werde ich daraus nicht so ganz schlau. Wie muss ich mir das vorstellen?
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Alt 10.01.2007, 13:10   #5
Tarlanc
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Zitat:
Original von camäleon
Heisst das mit andern Worten: Der Mond fliegt so schnell, darum fällt er nicht auf die Erde? Oder die Erde wechselt so schnell ihre Position, dass der Mond daneben fällt?
Eigentlich beides. Je nach Standpunkt. (nur, dass die Geschwindigkeit der Erde nix damit zu tun hat. Der Mond würde auch deneben fallen, wenn sie still stünde)

Zeichne dir mal auf ein Blatt eine Erdoberfläche im Kleinen. Also eine waagerechte Linie, wie wir sie vor der Haustür haben. Darüber zeichnest du die Flugbahn eines Apfels, den du waagerecht wirfst. Die Flugbahn beginnt waagerecht, senkt sich jedoch bald ab und geht schliesslich in eine immer steilere Kurve über, bis der Apfel auf der Erde ankommt.

Zeichne nun die Erde von weit weg, wie sie für einen äusseren Beobachter aussehen müsste, der Erde und Mond betrachtet. Also als kleiner Kreis. Erneut zeichnest du die Flugbahn eines Apfels, den du über dieser Erde waagerecht wirfst. Die Flugbahn wird Waagerecht beginnen und sich dann leicht absenken. Hast du ein kleines Stück der Flugbahn, kannst du die Zeichnung drehen, bis die Flugbahn wieder Waagerecht ist. Dann wiederholst du das ganze Spiel. Und so weiter, bis du schliesslich drumrum bist. Der Apfel fliegt in einer Kreisbahn um die Erde (die wahrscheinlich eher eine Spirale ist, weil das alles ja aus dem Handgelenk kommt und nicht berechnet ist).

Genauso fliegt auch der Mond um die Erde. Obwohl er ständig auf die Erde zufällt, bewegt er sich in jedem Moment seiner Bewegung auch aus irgendeinem Sichtwinkel schön waagerecht über der Erde. Und das heisst, dass er in einer Kreisbahn (oder eher elliptischen Bahn) um die Erde eiert. Und nie aufhört zu fallen aber auch nie unten ankommt.
Und genauso kreist jeder einzelne Satellit, Planet, Mond... um den Massepunkt, den er umfliegt. In einer stetigen Fallbewegung.

(Erklärung nur für 12-Jährige geeignet und nicht als physikalische Abhandlung gedacht )
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Alt 10.01.2007, 19:37   #6
basti_79
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Erstmal müßte man vielleicht noch die Trägheit erläutern, die ja einen wichtigen Teil dieser ganzen Geschichte darstellt.

Ein Körper (z.B.: die Erde, der Mond oder ein Apfel) verharrt in seiner Ausgangsposition, solange keine Kraft auf ihn wirkt. Wenn eine Kraft auf ihn wirkt, wird er beschleunigt, d.h., er beginnt, sich zu bewegen, erst langsam, und dann immer schneller. Dabei geht die Bewegung in Richtung der Kraft. Wenn wir beispielsweise einen Curlingpuck auf eine glatte Eisfläche legen, und anschubsen, wird er sich in Richtung des Schubsers bewegen, bis etwas ihn wieder abbremst (etwa: ein andere Curlingstein, oder eine Wand, die Reibung auf der Eisfläche oder vielleicht ein Mensch, der ihn Anhält). Diese Eigenschaft nennt man "Trägheit", und die ist auf intime Weise mit "Schwerkraft" verknüpft: anscheinend werden beide Phänomene von derselben Ursache ("Masse") hervorgerufen. (Daraus folgt u.A., dass man am fall eines Körpers nicht erkennen kann, wie schwer dieser ist - die Masse des Körpers kürzt sich aus der Gleichung heraus - und darum ist es auch so schwer, Himmelskörper zu wiegen)

Ein wichtiges Detail ist jetzt auch, dass Kräfte immer in Paaren auftreten: während der Curler den Stein anschiebt, "schiebt" der Stein zurück. Der Curler muß also irgendwie verhindern, dass er selber rückwärts wegrutscht (oder damit leben können) - glücklicherweise lernen Erdenbewohner das ja von frühester Jugend an, so dass es uns kaum auffällt, dass, wenn wir Curlen, wir beim Anschubsen des Steines uns in Wirklichkeit auch durch schrägstellen der Schlittschuhe im Eis verkeilen und so einen Formschluß haben, der es uns ermöglicht, die Kraft, die der Stein auf uns Ausübt, an die Erde weiterzugeben (was da mit ihnen passiert, sei nicht gegenstand dieses postings

Was hat das jetzt mit dem Mond zu tun? Ganz einfach: die Trägheit ist der Grund, warum der Mond auf seiner Bahn bleibt - was ja immer vorausgesetzt wurde bislang. Er bewegt sich tangential zur Erdoberfläche (also in einer Richtung, in der wir, auf der Erde stehend, gucken könnten, ohne aufwärts oder abwärts zu schauen), aber halt in gehöriger Distanz, so dass er bei flüchtiger Betrachtung ortsfest wirkt (was er überigens nicht ist, der hat ein ganz schönes Tempo drauf). Er wird von der Erde angezogen, wie jeder andere Körper auch, und infolgedessen "fällt er etwas in Richtung Erde". Da er aber gleichzeitig tangential unterwegs ist (und diese Bewegung ja bis auf den -relativ geringen- Einfluß der Erde beibehält), prallt er nicht auf der Erde auf, sondern fällt an ihr vorbei (im vergleich zu ihrem Abstand sind beide Körper ziemlich klein, es gehört also nicht besonders viel zielen dazu, die Erde zu verfehlen). Auf der anderen Seite der Erde widerholt sich das Spiel, jedoch halt umgekehrt. (Genaugenommen widerholt sich das Spiel an jeder Stelle der Umlaufbahn, aber halten wir es erstmal einfach - durchrechnen können wir das immer noch später). Am Umlauf sind also sowohl Trägheit als auch Schwerkraft beteiligt.

Das Detail der Kräftepaare bewirkt überigens auch, dass die Erde dementsprechend eine Umlaufbahn um den Mond besitzt - nur macht sie viel kleinere Kreise als der Mond, daher fällt das kaum auf. Eine Auswirkung dieser Tatsache sind die Gezeiten: der Ozean wird genauso vom Mond angezogen wie dieser von dem, und da der Ozean sich viel leichter bewegt als die große Erde darunter und näher am Mond dran ist als die starre Erde (sonst würden wir ja, da sich massen rauskürzen, keinen Unterschied merken! - der Ozean beschleunigt in jedem Abstand zum Mond genauso schnell wie die Erde, nur ist die Erde fest und ihr Schwerpunkt weit weg und der Ozean flüssig und hat keinen richtigen Schwerpunkt), schwappt er halt immer Richtung Mond.

Die Frage, warum der Mond überhaupt auf so eine (fast kreisrunde) Bahn gelangt ist, ist überigens völlig unabhängig davon, aber auch interessant
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Alt 10.01.2007, 23:21   #7
camäleon
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Ich merke, das ganze gestaltet sich schwieriger als ich gedacht habe. :P

Ich hab das Ganze jetzt mal gezeichnet wie Tarlac vorgeschlagen hat. Da der Apfel, wenn er zu Boden fällt ja eine immer steilere Kurve macht, führt dies zu einer Spirale um meinen Punkt. Irgendwann kolodiert meine Spirale mit dem Punkt. Konsequenz hier in meinen Ueberlegungen, irgendwann kolodieren Erde und Mond ?! Ist das richtig?

Zweiter Denkansatz: Die Trägheit. Ich stell mir also den Mond als Curlingpuck vor; von welcher Kraft wurde er angestossen und wohin ist er eigentlich unterwegs? Dabei wär die Erde wie der Besen, der den Mond permanent von seinem eigentlichen Vorhaben (Flugrichtung) abbringt. Mit etwas Phantasie kann ich mir da eine Umlaufbahn um die Erde schon vorstellen. Für mich sind die Erklärungen hier jedoch noch zu unddetailiert, würde es sich ja um ein Gleichgewicht von Kräften handeln, wenn ich das alles überhaupt richtig verstanden habe.
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Alt 11.01.2007, 10:18   #8
Sakslane
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Der Mond fällt nicht auf die Erde, weil diese Spirale nur durch eine zwangsläufige Ungenauigkeit beim Zeichnen zustande kommt. Man geht ja davon aus, dass der Mond "ein kleines Stück" fällt und der Erde dabei auch "ein kleines Stück" näher kommt. Nun ist es aber nicht so, dass die Bahn des Mondes aus kleinen Stücken von abwechselndem Fallen und "Drehen der Orientierung bis zum Waagerechtbewegen" besteht, sondern seine Bewegung natürlich kontinuierlich erfolgt.

Dafür muss man zunächst einmal wissen, dass die Schwerkraft natürlich eine konstante Kraft ist und der Mond damit einer konstanten Beschleunigung unterliegt. Die Geschwindigkeit ändert sich also in jeder Sekunde um den gleichen Betrag.

Angenommen, ich betrachte die Bewegung des Mondes über einen "kleinen Zeitraum", in dem sich der Mond ein "kleines Stück" bewegt. Zu Beginn dieses Zeitraums ist die Geschwindigkeit des Mondes auf die Erde zu 0, da sich der Mond waagerecht bewegt. Während des Zeitraumes ändert sich nun die Geschwindigkeit "ein wenig". Und mit dieser geringen Geschwindigkeit fällt der Mond dann "ein Stück" auf die Erde zu.

Mache ich nun den "kleinen Zeitraum" von eben nur halb so groß, so bewegt sich der Mond nur ein halb so großes Stück entlang seiner Bahn vorwärts. Auch seine Geschwindigkeit in Richtung Erde nimmt nur um einen Betrag zu, der halb so groß ist wie eben. Der Mond fällt also innerhalb dieses Zeitraumes nur halb so schnell auf die Erde zu - aber er fällt auch nur halb so lange, weil der Zeitraum ja kürzer ist. Also ist die Strecke, um die ein fällt, sogar um den Faktor vier kleiner.

Um die Mondbahn nun exakt zu beschreiben, muss man diese "kleinen Zeiträume" immer kleiner machen. Angenommen, ich teile diesen Zeitraum in N gleich große Teile. Dann fällt der Mond ingesamt N mal um eine Strecke, die so groß ist wie die Strecke die er in dem "kleinen Zeitraum" fallen würde, geteilt durch N². Insgesamt ist die Strecke also um den Faktor N kleiner, als wenn ich den Zeitraum als ganzes betrachten würde. Und da man die Strecke natürlich genau genommen in unendlich viele Teile zerteilen müsste, ist die gesamte Strecke im wirklichen Fall 0.


Das ist zugegebenermaßen etwas Wischi-Waschi und nicht mathematisch exakt formuliert, aber ich hoffe mal, dass es so halbwegs anschaulich ist...

[mathematisch]
Im Zeitraum t bewegt sich der Mond um das Stück s = v_b t, wobei v seine Bahngeschwindigkeit ist. Die Geschwindigkeit senkrecht dazu ändert sich um v_h = g t, wobei g die Fallbeschleunigung am Ort des Mondes ist. Er fällt um die Strecke h = v_h t / 2 = g t² / 2 = g s² / 2 v_b², weil die mittlere Geschwindigkeit v_h / 2 ist. Pro Wegstrecke fällt er also um h / s = g s / 2 v_b². Teilt man die Wegstrecke also immer feiner ein (s gegen 0), so geht die pro Wegstrecke gefallene Distanz ebenfalls gegen 0.
[/mathematisch]

Tatsächlich ist es sogar andersherum - der Mond entfernt sich mit der Zeit von der Erde. Dieser Effekt kommt nicht alleine durch die Gavitation zustanden, sondern ist eine Folge der Gezeiten. Die Erde dreht sich ja unter den Flutbergen durch, die der Mond durch seine Gravitation aufwirft. Dabei reibt sie sich an den Flutbergen und durch diese Reibung werden die Flutberge ein Stück mitgenommen. Da sich die Erde schneller dreht, als der Mond sie umkreist, laufen die Flutberge dem Mond daher ein Stück voraus. Durch die Schwerkraft des Flutberges, der dem Mond zugewandt ist, wird der Mond angezogen und daher in seiner Bahn ein Stück vorwärts beschleunigt. Und wenn man ein Objekt in einer Kreisbahn beschleunigt, bewegt es sich durch die erhöhte Fliehkraft weiter nach außen.
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Alt 11.01.2007, 14:04   #9
Tarlanc
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Zitat:
Original von camäleon
Ich hab das Ganze jetzt mal gezeichnet wie Tarlac vorgeschlagen hat. Da der Apfel, wenn er zu Boden fällt ja eine immer steilere Kurve macht, führt dies zu einer Spirale um meinen Punkt. Irgendwann kolodiert meine Spirale mit dem Punkt.
Dann mach die Kurve etwas weniger steil und die Spirale wird sich nach aussen bewegen, statt nach innen. Das ist eben das Problem, wenn man es von Hand zeichnet. Es wird nie ein Kreis.
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Alt 13.01.2007, 23:44   #10
Platibyte
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naja, es ist ja auch eine spirale...
nur dauerts für unsere verhältnisse ewig lange bis das mond auf die erde klatscht.

btw: was kommt wohl eher?
- erde stürzt in die sonne
- mond stürzt auf die erde
- erde wird gesprengt wegen umfahrungsstrasse?
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